Lição 15ª: Renda constante temporária pós-pagável (I)

 

 

 

 

 

   

Temos definido como rendas constantes aquelas em que os montantes de capital (termos de renda) são sempre iguais.

Vamos distinguir as seguintes modalidades em rendas constantes:

    Renda temporária pós-pagável 
    Renda temporária pré-pagável 
    Renda perpétua pós-pagável 
    Renda perpétua pré-pagável 
    Renda diferida 
    Renda antecipada 

Vamos começar com o estudo da renda temporária pós-pagável:

Renda temporária pós-pagável

É a renda de duração determinada, onde os montantes de capital são gerados no final de cada sub-período (por exemplo, o contrato de locação por 5 anos com pagamento no final de cada mês).

Para ver como é calculado o seu valor (“valor-capital”), vamos começar com o caso mais simples: o montante do capital em cada período é de 1 peseta (renda unitária). Ou seja, temos uma seqüência finita (de "n" períodos) de montantes de 1 peseta.

Vamos calcular o seu valor atual, denotado por Ao. Para fazer isso precisamos levar cada um dos montantes ao momento atual. Vamos aplicar a lei do desconto composto: 

  Cf = Co * (1 + d) ^-t  que é equivalente a:  Cf = Co / (1 + d) ^ t 

Vamos descontar cada montante: 

A soma de todos os montantes descontados é o valor atual Ao. Se executarmos esta soma e simplificarmos, obtemos: 

    Ao = (1 - (1 + i) ^-n ) / i

Um exemplo: Calcule o valor atual de uma renda anual de 1 peseta, durante 7 anos com uma taxa de juros de 16%:

Aplicamos a fórmula Ao = (1 - ( 1 + i ) ^ -n )/ i
Então , Ao = (1 - ( 1 + 0,16 ) ^ -7 )/0,16
Então , Ao = 0,6461/0,16
Então , Ao = 4,0386 ptas.
Então o valor atual desta renda é 4,04 ptas.

IMPORTANTE: Prazo, taxa de juros e montantes devem se referir à mesma base de tempo. Neste exemplo, como são montantes anuais, use uma base anual. Se, por exemplo, os montantes forem trimestrais, o tempo e a taxa estariam em base trimestral.

Para calcular o valor final desta renda, o qual denominamos S f , temos de fazer o processo inverso, ou seja, capitalizar todos os montantes e trazê-los ao momento final. Vamos usar a lei de capitalização composta:

    Cf = Co * (1 + i) ^ t

Considere o exemplo:

Adicionando os diferentes montantes capitalizados e simplificando, obtemos: 

    Sf = ( ( 1 + i ) ^ n - 1) / i  

Um exemplo: Calcule o valor final de uma renda anual de 1 peseta, durante 7, anos com uma taxa de juros de 16%: 

Aplicamos a fórmula S f = ( ( 1 + i ) ^ n - 1) / i
Então , Sf = ( ( 1 + 0,16 ) ^ 7 - 1) / 0,16
Então , Sf = 1,8262/0,16
Então , Sf = 11,4139 ptas.
Então o valor final desta renda é 11,4 ptas.

Podemos ver qual é a relação entre o valor inicial Ao e o valor final S f , e isto será dado pela seguinte fórmula: 

Sf = Ao (1 + i)^ n

Vamos ver se isto se cumpre no exemplo que estamos vendo: 

Vimos que Ao = 4,0386 ptas.
e que Sf = 11,4139 ptas.
Então 11,4139 = 4,0386* (i+0,16)^ 7
Então 11,4139 = 4,0386*2,8262
Então 11,4139 = 11,4139
Cumpre-se, portanto, a relação