A renda constante temporária pré-pagável é a de duração determinada, na qual os montantes de capital são gerados no início de cada sub-período (por exemplo, contrato de locação por 5 anos com pagamento no início de cada mês).
Para ver como é calculado o seu valor capital vamos começar novamente estudando o caso da renda unitária (montantes de 1 peseta em cada período)
Período
1 2 3 ..... ..... ..... ..... n-2 n-1 n
Montante (Pesetas)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Vamos calcular o seu valor atual, que denotamos por Ä o. Como vimos no caso da renda pós-pagável, aplica-se a lei de desconto composto
Vamos descontar cada montante:
Período
Montante
Montante descontado
1 1 1
2 1 1 / (1 + i)
3 1 1 / (1 + i) ^ 2
..... ..... .....
..... ..... .....
n-2 1 1 / (1 + i) ^ n-3
n-1 1 1 / (1 + i) ^ n-2
n 1 1 / (1 + i) ^ n-1
A soma de todos os montantes descontados é o valor atual Äo . Se executarmos esta soma e simplificarmos, obtemos:
Äo = (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
Um exemplo: Calcule o valor atual de uma renda anual de 1 peseta, durante 4 anos e com uma taxa de juros anual de 16%:
Aplicamos o a fórmula = (1 + i) * ((1 - (1 + i) ^-n) / i)
Então, Äo = (1 + 0,16) * ((1 - (1 + 0,16)^-4) / 0,16)
Então, Äo = 1,16 * 2,7982
então, Äo = 3,246 ptas.
Então, o valor atual da renda é 3,246 pesetas.
IMPORTANTE: prazo, taxa de juros e montantes devem se referir à mesma base de tempo. Neste exemplo, os valores são anuais, tem de ser usada a base anual
Esse valor atual Äo tem a seguinte relação com o valor atual Ao de uma renda pós-pagável:
Äo = (1 + i) * Ao
Para demonstrar isto, vamos supor que a renda no exemplo anterior era pós-pagável:
Aplicamos a fórmula Ao = (1 - (1 + i) ^-n) / i
então Ao = (1 - (1 + 0,16) ^ -4) / 0,16
então Ao = 2,7982 ptas.
Tem que ser demonstrado que Äo = (1 + i) * Ao
então , Äo = 1,16 * 2,7983
então Äo = 3,246 ptas. (corresponde com o valor que tínhamos calculado)
Vamos ver, portanto, como se cumpre a relação
Para calcular o valor final desta renda, a qual chamamos S¨f, usamos a lei da capitalização composta. Começamos analisando o caso de uma renda unitária:
Período
Montante
Montante capitalizado
1 1 1 * (1 + i) ^ n
2 1 1 * (1 + i) ^ n-1
3 1 1 * (1 + i) ^ n-2
..... ..... .....
..... ..... .....
n-2 1 1 * (1 + i) ^ 3
n-1 1 1 * (1 + i) ^ 2
n 1 1 * (1 + i)
Adicionando os diferentes montantes capitalizados e simplificando, obtemos:
S¨f = (1 + i) * (((1 + i) ^ n - 1) / i)
Um exemplo: Calcule o valor final da renda do exemplo anterior:
Aplicamos a fórmula S¨f = (1 + i) * (((1 + i) ^ n - 1) / i)
então, S¨f = (1 + 0,16) * (((1 + 0,16) ^ 4 - 1) / 0,16)
então Sf = 1,16 * 5,0664
então Sf = 5,877 ptas.
Então o valor final dessa renda é 5,877 pesetas.
A relação entre S¨f e o valor final de uma renda pós-pagável Sf é:
S¨f = (1 + i) * Sf
(Execute a mesma comprovação que fizemos com o valor inicial)
Além disso, a relação entre o valor inicial Aö e seu valor final S¨f é:
S ¨f = (1 + i) ^ n * Aö
Vamos verificá-lo seguindo o exemplo que temos utilizado:
Vimos que, Aö = 3,246 ptas.
e que a S¨f = 5,877 ptas.
Temos de mostrar que 5,877 = 3,246 * (i +0,16) ^ 4
Então 5,877 = 3,246 * 1,8106
Então 5,877 = 5,877
Cumpre-se, portanto, a relação
