Em alguns empréstimos são estabelecidas distintas taxas de juros, dependendo do período:
Por exemplo: 8% durante os primeiros dois anos, 9% durante o 3º e 4º ano, e 10% durante os últimos dois anos.
São geralmente operações de longo prazo, nas quais a taxa de juros irá aumentando na medida em que aumenta o prazo.
Além desta particularidade, estes empréstimos podem seguir o desenvolvimento de alguns dos modelos que temos analisado (cotas periódicas constantes, amortização de principal constante, etc). Vamos ver um exemplo de um empréstimo que segue o modelo de cotas constantes.
a) empréstimos com diferentes taxas de juros e cotas constantes.
Suponha que tem sido estabelecidos 2 períodos: um que vai desde o início até o período "s" com uma taxa de juros "i1 "; e uma segunda parte que abrange desde o período s+1 até o vencimento, com uma taxa de juros"i2 ". Então:
AMs : valor da cota periódica constante, e Co é o montante inicial do empréstimo
(AMs * Ao ) é o valor atualizado da primeira parte ( Ao é o valor atual de uma renda pós-pagável, constante, de "s" períodos de duração e com taxa de juros i1 )
(AMs * (1 + i1 ) ^-s *A1 ) é o valor atualizado da segunda parte ( A1 é o valor no momento "s" de uma renda pós-pagável constante, desde o período "s+1" até o período "n", e com taxa de juros i2 )
Como A1 é o valor no momento "s", tem que ser atualizado até o momento 0; por isso o parêntese (1 + i1 ) ^-s
É interessante ver como para descontar esta segunda parte até o momento "0", é aplicada a taxa de juros da primeira parte, pois é a que está vigente entre o momento 0 e o momento "s"
Exemplo:
Calcule a cota periódica constante e a amortização de um empréstimo de 4.000.000 pesetas, a 6 anos, com uma taxa de juros de 9% durante os primeiros 3 anos e de 10% para os 3 restantes:
Aplicamos a fórmula, Co = (AMs * Ao ) + (AMs * (1 + i1 ) ^-s *A1 )
Então, 4.000.000 = ( AMs * ((1 - (1+0,09) ^-3 )/0,09) ) + ( AMs * (1+0,09) ^-3 * ((1 - (1+0,1) ^-3 )/ 0,1) )
Então, AMs = 898.555 ptas
Portanto, a cota anual constante durante os 6 anos será de 898.555 ptas
Para calcular a parte da cota periódica que corresponde à amortização de capital, fazemos o seguinte:
São calculados os juros, que incluem a primeira cota, e por diferença, a parte da cota que corresponde à devolução do capital:
M1 = AM1 + I1 (ou seja, a cota periódica é a soma de devolução de capital e de pagamento de juros). Isolando, AM1 = A1 - I1
I1 pode ser calculado: I1 = Co * i 1 * t
Então, I1 = 4.000.000 * 0,09 * 1
Então, I1 = 360.000 ptas.
Portanto, AM1 = 898.555-360.000
Então , AM1 = 538.555 ptas.
Conhecendo a devolução de principal do primeiro período, podemos calcular as devoluções de principal restantes utilizando a seguinte fórmula:
AMS = AM1 * (1 + i 1 ) ^ s-1
Mas acontece que esta lei é mantida enquanto não mude a taxa de juros. Quando começa o 2º período, não podemos continuar aplicando esta lei.
Vamos calcular a devolução do principal do 2º e 3 º período (não do 4º porque muda a taxa de juro):
Para calcular a devolução do principal na 1 º cota do segundo período (correspondente ao 4 º ano), temos que começar por calcular os juros que essa cota inclui:
Aplicamos a fórmula: I4 = S3 * i2 * t
Temos todos os dados exceto o saldo vivo no final do 3º período. Este saldo vivo pode ser calculado:
Aplicamos a fórmula: S3 = C0 - AM1 - AM2 - AM3
Então, S3 = 4.000.000 - 538.555 - 58.025 - 639.857
Então, S3 = 2.234.563 ptas.
Podemos calcular os juros do 4 º período:
Aplicamos a fórmula: I4 = S3 * i2 * t
Então, I4 = 2.234.563 * 0,1 * 1
Então, I4 = 223.456 ptas.
Após calcular os juros do 4 º período, por diferença, podemos calcular a parte da cota que corresponde à amortização de capital:
AM4 = A4 - I4
Então, M4 = 898.555 - 223.456
Então, M4 = 675.099 ptas.
As amortizações restantes de capital do 2º período são calculadas utilizando a fórmula que já conhecemos:
AMs = AM4 * (1 + i2 ) ^s-4 (tomamos como ponto de partida o 4º ano)
Assim:
Assim, já sabemos a devolução de principal de todos os períodos. Por diferença, calculamos os juros de cada cota e também é fácil ver a evolução do saldo vivo e o capital amortizado.
A tabela de amortização do empréstimo seria:
