Neste tipo de empréstimo, amplamente utilizado, periodicamente são realizadas amortizações de um número de títulos escolhidos por sorteio.
As cotas periódicas incluem, portanto, dois conceitos:
- Pagamento de juros do período
- A amortização desses títulos selecionados
a) Pagamento periódico de juros e cotas constante
Dentro deste tipo de empréstimo , é de destaque o modelo caracterizado pelas cotas periódicas constantes ao longo da vida do empréstimo (para simplificar, consideramos que a taxa de juros também é constante durante toda a operação).
Para calcular o montante da cota periódica, aplicamos a lei de equivalência financeira:
Co = Ms * Ao
Co : montante inicial do empréstimo
Ms : montante da cota periódica
Ao : valor atual de uma renda constante, pós-pagável
A partir daqui podemos resolver o valor Ms. Para calcular que parte dessa cota pertence à amortização de capital, calculamos a que corresponde ao primeiro período:
M1 = (Co * i * t) + (A1 * Vn )
O 1º parêntese (Co * i * t) corresponde aos juros do período, enquanto 2º parêntese (A1 * Vn ) corresponde à amortização de capital ( A1 : número de títulos que se amortiza e Vn : valor nominal de cada título)
O montante dos juros pode ser calculado diretamente, e logo pode se deduzir o montante da amortização de capital (e, portanto, o número de títulos amortizados).
A partir do número de títulos amortizados no primeiro período, pode-se calcular o programa de amortizações:
As = Ai * (1 + i) ^s-1
As : número de títulos amortizados no período s
A partir de cada cota periódica que corresponde a juros é calculada pela fórmula:
Ms = AMs + Is
Então , Is = Ms - AMs
Exemplo: Foi realizada uma emissão de obrigações de 20.000 milhões de pesetas, distribuída em 1.000.000 de títulos de 20.000 pesetas de valor nominal cada, a um prazo de 5 anos e uma taxa de juros de 8%. As cotas são anuais e constantes. Calcular tabela de amortização.
Começamos calculando o montante da cota periódica
Co = Ms * Ao
Co = Ms * ((1 - (1 + i) ^-n ) / i)
20.000 = Ms * ((1 - (1 + 0,08) ^-5 ) / 0,08)
Ms = 5.009,13 milhões de pesetas.
Depois, calculamos o número de títulos amortizados no primeiro período:
Ms = (Co * i * t) + (A1 * Vn )
Então, 5.009,13 = (20.000*0,08*1) * (A1 * 0,02) (o valor nominal do título está expresso em milhões de pesetas)
Então , A1 = 170.456 títulos
Agora podemos encontrar o número de títulos amortizado em cada um dos períodos:
Conhecendo o número de títulos amortizados, basta multiplicar pelo seu valor nominal para ver o montante do empréstimo amortizado em cada período.
Os juros são calculados por diferença: Is = Ms - AMs
Já podemos completar o quadro de amortizações:
