Em alguns tipos de empréstimos são feitos um único pagamento de juros no momento da amortização de títulos. Estas emissões são chamadas de "cupom zero".
Dentro desta categoria são distinguidas algumas variantes, com destaque para:
a) Cotas periódicas constantes
b) Amortização do mesmo número de títulos em cada período
Cotas periódicas constantes
O esquema é semelhante aos empréstimos com pagamentos de juros periódicos e cota constante. A diferença é que naquele modelo, a cota periódica incluía juros sobre o saldo vivo, enquanto agora (cupom zero) só abrange os juros acumulados dos títulos que são amortizados ao longo desse período.
Para simplificar, considere que a taxa de juros é constante durante toda a vida do empréstimo.
A cota periódica é calculada:
Co = M * Ao
Co : montante inicial do empréstito
M : montante da cota periódica
Ao : valor atual de uma renda constante, pós-pagável
A partir daqui, isolamos M.
Para calcular o número de títulos a serem amortizados em cada período, começamos por conhecer o primeiro período:
M = (A1 * Vn) + (1 + i)
A1 : número de títulos amortizados no primeiro período
Vn : valor nominal de cada título
Os títulos que são amortizados em períodos subseqüentes são calculados usando a seguinte fórmula:
As = A1 * (1 + i) ^-(s-1)
As : número de títulos amortizados no período s
A parte da cota periódica que corresponde a juros dos títulos amortizados é facilmente calculada:
Is = Ms - (A1 * Vn)
Is : juros pagos nesse período
Conhecendo este dado, podemos completar a tabela da amortização:
Vamos ver um exemplo:
Emitem-se obrigações por 50.000 milhões de pesetas. (1.000.000 títulos, com um valor nominal de 50.000 pesetas cada). A duração é de 5 anos e a taxa de juros constante de 6%. As cotas anuais são constantes e os juros são pagos no momento de amortização de cada título.
Calcular tabela de amortização:
A cota periódica é calculada:
Co = M * Ao
Co = M * ((1 - (1 + i) ^-n ) / i)
50.000 = M * 4,2123
M = 11.869,82 milhões de pesetas.
Agora calculamos o número de títulos amortizados no primeiro período:
M = (A1 * Vn) * (1 + i)
11.869,82 = (A1 * 0,05) + (1 + 0,06) (o valor nominal do título é expresso em milhões de pesetas.)
Então A1 = 223.959 títulos
Agora podemos calcular amortização restante:
E podemos completar a tabela de amortizações:
