Há rendas às quais se aplicam diferentes taxas de juros, dependendo dos períodos:
Por exemplo: uma renda anual de 3 anos de duração, à qual se aplica as seguintes taxas: de 8% no 1 primeiro ano, 9% no segundo ano, e 10% no terceiro ano.
Nestes casos, cada período deve ser avaliado separadamente e depois adicionamos os valores obtidos para cada um deles.
Exemplo: Calcule o valor inicial de uma renda anual pós-pagável de 1.000.000 pesetas e de 9 anos de duração, e que é aplicada uma taxa de 5% nos primeiros três anos, 6% nos três anos seguintes, e 7% nos últimos três:
Temos de calcular o valor inicial de cada período e acrescentá-lo:
1º) O primeiro período abrange 3 anos, e no cálculo do seu valor inicial podemos seguir o modelo de uma renda normal pós-pagável:
Assim aplicamos a fórmula Vo = C * ( ( 1 - ( 1 + i ) ^ -n ) / i)
Então, Vo = 1.000.000 * ( ( 1 - ( 1 + 0,05 ) ^ -3 ) / 0,05)
Então, Vo = 1.000.000 * 2,7232
Então, Vo = 2.723.248 ptas.
Portanto, o valor atual da renda deste primeiro periodo é 2.723.348 ptas.
2º) Para o 2º período calculamos seu valor atual a começos deste período (começo do 4º ano) y então descontamos até o momento 0.
Aplicamos a mesma fórmula que no caso anterior para calcular o valor atual a princípios do 4º ano:
Então, Vo = C * ( ( 1 - ( 1 + i ) ^ -n ) / i)
Então, Vo = 1.000.000 * ( ( 1 - ( 1 + 0,06 ) ^ -3 ) / 0,06)
Então, Vo = 2.673.012 ptas.
O valor assim calculado é descontado três anos (período diferido), mas neste desconto aplicamos a taxa de juros do primeiro período (5%), pois esta é a taxa vigente nesses anos.
Então, Vk = 2.673.012 * (1 + 0,05)^ -3
Então, Vk = 2.309.038 ptas.
Portanto, o valor no momento 0 das rendas correspondentes ao 2º período é 309.038 ptas.
3º) No 3º período aplicamos o mesmo método: calculamos seu valor atual a princípios deste período, (princípios do 7º ano) y depois o descontamos pelo período diferido.
Cálculo do seu valor atualizando a começos do 7º ano:
Então, Vo = C * ( ( 1 - ( 1 + i ) ^ -n ) / i)
Então, Vo = 1.000.000 * ( ( 1 - ( 1 + 0,07 ) ^ -3 ) / 0,07)
Então, Vo = 2.624.316 ptas.
Este valor é descontado 6 anos (período diferido): os 3 primeiros aplicando a taxa do primeiro período (5%) e nos três anos seguintes, a taxa do 2º período (6%).
Então, Vk = 2.624.316 * (1 + 0,05)^ -3 * (1 + 0,06)^ -3
Então, Vk = 1.903.264 ptas.
O valor no momento 0 das rendas correspondentes ao 3º período é 1.903.264 ptas.
4º) Quando já é calculado o valor atual dos três períodos, são adicionados e obtemos o valor atual de toda a renda.
Então, Vo = 2.723.248 + 2.309038 + 1.903.264
Então, Vo = 6.935.550 ptas.
Portanto, o valor atual de toda a renda é 6.935.550 ptas.
Neste tipo de renda em que se aplicam diferentes taxas de juros, é interessante saber a taxa média resultante.
Para fazer isto, aplica-se a fórmula como se fosse uma renda normal, com somente uma taxa de juros, e isolamos da fórmula esta taxa média de juros:
Então, Vo = C * ( ( 1 - ( 1 + i ) ^ -n ) / i)
Então, 6.935.550 = 1.000.000 * ( ( 1 - ( 1 + i m ) ^ -9 ) / i m ) (i m é a taxa média)
O cálculo de i m exige uma calculadora financeira, ou pode ser feito tenteando
Então, im = 5,555% (calculado tenteando)
Portanto, a renda que temos visto com três diferentes taxas de juros é equivalente a uma renda de igual duração e com os mesmos termos de 1.000.000 pesetas, com uma taxa de juro constante de 5,555%.
